مشتق مراتب بالاتر

اگر تابع روی بازهٔ مشتق‌پذیر باشد تابع خود ممکن است در نقطه‌ای مثل مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع در موجود است و آن را با نمایش می‌دهیم.

مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. بطوریکه با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:

 مشتق n‌ام چند تابع مهم

مشتق ام چند تابع مهم نسبت به که و اعداد ثابت هستند:

 قاعدهٔ لایبنیتس

قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع و روی بازهٔ دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ باشند، آنگاه حاصل‌ضرب نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ است و داریم:

مشتق توابع زوج و فرد

مشتق هر تابع زوج، تابعی فرد است و مشتق هر تابع فرد، تابعی زوج است.

اگر تابعی زوج و موجود نباشد ولی و موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:

اگر تابعی فرد و موجود نباشد ولی و موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:

تابع علامت

تابع با ضابطه زیر را تابع علامت می گوییم:

لازم به ذکر است که این تابع را با نماد نشان می دهند که نماد آن از واژه انگلیسی sign اقتباس شده است که ریشه اصلی آن، از واژه یونانی signum به معنای علامت است.
همچنین ضابطه این تابع را برای X های مخالف صفر می توان اینگونه تعریف کرد:
در این تابع دامنه مجموعه اعداد حقیقی است و برد این تابع برابر است با: .
این تابع از معروف ترین توابع چند ضابطه ای است که نحوه عملکرد آن به این صورت است:

• اگر متغییر x داده شده به تابع مثبت باشد آن را به عدد یک و اگر متغییر x داده شده به تابع منفی باشد آن را به منفی یک متناظر می کند و اگر متغییر داده شده x=0 باشد آن را به عدد صفر متناظر می کند. به عبارت دیگر این تابع هر عدد حقیقی مثبت را به یک، هر عدد حقیقی منفی را به منفی یک متناظر می کند و عدد صفر را هم به صفر متناظر می کند.
• نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع علامت(sgn) را نشان می دهد:

• با توجه به ضابطه این تابع نمودار آن به این صورت خواهد بود:

• بررسی ویژگی های تابع علامت

• تابع علامت تابعی فرد است.

برهان: تابع را در نظر بگیرید:

که این نشان می دهد این تابع فرد است. همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن تابع است.

• تابع علامت تابعی غیر یک به یک است.

برهان: در توابع چند ضابطه ای شرط اولیه برای یک به یک بودن تابع این است که هر ضابطه یک به یک باشد اما مشاهدی می شود در مورد تابع علامت این شرط برقرار نمی باشد. پس این تابع یک به یک نمی باشد.

• تابع علامت تابع پوشا است.

برهان: می دانیم در بررسی پوشا بودن توابع چند ضابطه ای به این صورت عمل می کنیم که برد هر ضابطه را محاسبه کرده اجتماع آنها را بدست می آوریم. اگر حاصل با مجموعه انجام تابع برابر باشد تابع پوشا است. حال در تابع علامت اجتماع بردهای هر ضابطه برابر با مجموعه است(چرا؟).
و چون با مجموعه انجام تابع یعنی برابر است پس این تابع پوشا است.

سری مثلثاتی

توسعه نظریه سریهای مثلثاتی در 1822 ،با چاپ کتابی توسط فوریه آغاز شد.تحقیقات چندین ساله وی به گسترش نظریه وسیعی در مورد سریها منجر شدکه امروزه به نام خود وی معروف ،و از اهمیت بسیاری در ریاضیات ،علوم و فن برخوردار است.ایده اساسی این نظریه،معرفی توابع تناوبی یا دوره ای توسط توابع تناوبی(مثلثاتی) خاص است.

سری فوریه برای بررسی حرکات تناوبی در آکوستیک یا صوت شناسی،الکترودینامیک ،اپتیک یا نور شناسی، ترمودینامیک و غیره مورد استفاده قرار گرفته است.

در مهندسی الکتریک مسائلی چون رفتار بسامدی ،عناصر سوئیچینگ ،یا انتقال ضربه ها را میتوان به کمک سری فوریه حل کرد.

پیش بینی جزرومد در دریانوردی دارای اهمیت فراوانی است.از آنجا که اینها پدیده هایی تناوبی هستند از سری فوریه استفاده میشود و در تمام بندرهای مهم،وسائل مکانیکی چون پیش بینی کننده های جزر و مد ساخته میشود.امروزه کمتر شاخه‌ای از فیزیک،ریاضیات، یا صنعت و فن وجود دارد که در آن از سریهای فوریه استفاده نشود.

تعریف

سری توابع که جمله عمومی آن

با ضرایب ثابت و است سری مثلثاتی نامیده میشود. اگر این سری در بازهای از طول همگرا باشد،آنگاه از آنجا که توابع مثلثاتی تناوبی اند، به ازای جمیع مقادیر x همگراست و تابع تناوبی ی را نشان میدهد.

این تابع لزوما پیوسته نیست، و در واقع اغلب بین آنچه که توسط فرمول های مختلف داده شده است گسستگی هایی دارد.
از طرف دیگر،اگر این سری به طور یکنواخت همگرا باشد،آنگاه مجموع آن، ،پیوسته است. در این حالت میتوان ارتباطی بین ضرایب و و تابع مجموع به دست آورد.ضرب سری




در عاملهای کراندار یا که در آنها p عددی صحیح و نامنفی است اختلالی در همگرایی یکنواخت آن به وجود نمی آورد،بنابراین میتوان

و

را با استفاده از انتگرالگیری جمله به جمله سری یا محاسبه کرد
این انتگرالگیری ها شامل انتگرال های روی بازه توابع و و و اند.

اتحاد اویلر و اتحاد لاگرانژ

اتحاد اویلر

• برهان:

• صورتی دیگر از اتحاد اویلر:

• برهان:

• نتایج اتحاد اویلر:
  • اگر a+b+c=0 آنگاه
  • اگر a=b=c آنگاه

---

مثال:

همچنین اگر باشد آنگاه داریم:

اتحاد لاگرانژ

---

مثال:

حل معادله درجه سوم

معادلات درجه سوم برای اولین بار توسط ریاضیدانان هندسی در حدود 400 سال قبل از میلاد مورد توجه قرار گرفت. در بین ریاضیدانان پارسی، عمر خیام (1123-1048) راه حلی را برای حل معادله درجه سوم ابداع کرد. او در این روش با استفاده از هندسه نشان داد که چگونه با استفاده از روش هندسی می‌توان به جواب عددی معادله رسید با استفاده از جدول مثلثاتی. همچنین در حول و حوش قرن 16، یک ریاضیدان ایتالیایی به نام scipione، روشی را برای حل کلاسی از معادلات درجه سوم که به صورت می‌باشند را ادامه داد. او همچنین نشان داد که تمامی معادلات درجه سوم را می‌توان به صورت گفته شده کاهش داد.

هر معادله درجه سوم حقیقی حداقل یک جواب حقیقی دارد. این استدلال نتیجه مستقیم قضیه مقدار میانگین است.

روش کاردانو برای پیدا کردن ریشه‌های معادله درجه سوم

در ابتدا معادله داده شده را به فرم کلاسیک تبدیل می‌کنیم، همین معادله داده شده را به ضریب تقسیم می‌کنیم.
حال با تغییر متغیر: معادله را به فرم زیر تبدیل می‌کنیم.

بطوری که و معادله به دست آمده را معادله تقلیل یافته می‌نامیم.
حال فرض می‌کنیم که بتوانیم اعداد u و v را طوری پیدا کنیم که:

حل جواب معادله داده شده با فرض t=v-u به دست می‌آید این مطلب بطور مستقیم با تعقیب متغیر t در (2) قابل بررسی می‌باشد. به عنوان یک نتیجه از اتحاد معادله درجه سوم معادله

(3) قابل حل است. با حل معادله درجه دوم برای v که به دست می‌آید

با قرار دادن این مقادیر در 3 خواهیم داشت

که از حل این معادله که یک معادله درجه 2 از می‌باشد خواهیم داشت
حال چون و پس

دنباله

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید اولین عضو این مجموعه عدد 2 است و n امین عضو آن 2n است.
حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید: با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع یک به یک از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که در عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.(مانند شکل)

اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت: متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، تابعی است یک به یک که هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند و می‌توان چنین ضابطه‌ای برای آن تعیین نمود:
حال در مثالی دیگر تابع را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد با این تفاوت که این تابع دیگر یک به یک نمی‌باشد و فقط بین اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر بوجود می‌آورد.
نمونه های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع ، ، که در آنها n عددی طبیعی است.
به چنین توابعی که از از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف می‌شوند دنباله می‌گوییم. در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 2 از برد تابع را جمله اول، عدد 4 را جمله دوم و به همین ترتیب عدد 2n را جمله n ام دنباله می‌گوییم. همین شیوه برای سایر دنباله‌ها نیز اعمال می‌شود.
در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونه‌ای به اعضای برد متناظر می‌شوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 1 در دامنه به عدد 2 در برد که اولین جمله دنباله است متناظر می‌شود و عدد 10 از دامنه به عدد 20 از برد که جمله دهم است متناظر می‌شود و به همین ترتیب عدد n‌ در دامنه به عدد 2n از برد که جمله n ام است متناظر می شود.

ادامه نوشته

نقشه هاي مفهومي فصل اول كتاب حساب ديفرانسيل و انتگرال جديدالتأليف

عنوان فصل اول: راهبرد تقريبهاي متوالي و شناخت اعداد حقيقي

نقشه هاي مفهومي در برگيرنده محتواي موضوعي رياضي و محتواي فرايندي رياضي ميشود.

محتواي موضوعي – فرايندي اين فصل به صورت زير خواهد بود.

١‐  بخش آغازين

انجام دادن بر اساس » روش درست يادگيري و فهميدن رياضيات با تمركز بر سه انديشة محوری استوار شده است. « معنا و مفهوم فهميدن و يادگيري در رياضيات » و « تفكربر پاية انجام دادن » ، « تفكریك بيان كلي معناي دانايي در رياضي ارائه ميشود:

« در رياضيات، دانستن يعني توانايي انجام دادن »

نقشه مفهومي كلي؛ بخش اول :- concept maps

فهميدن و يادگيري دررياضيات

پنداشتهاي نادرست يا بدفهمي ها

انجام دادن براساس تفكر ديدن، شنيدن،خواندن تفكر براساس انجام دادن

در اين قسمت مفاهيم معادلة و تابع درجة ٢، تابع سينوس و لگاريتم، تركييب توابع، مفهوم مشتق و قوانين مشتق گيري به عنون ابزار و مواد رياضي به كار گرفته ميشوند.

شامل باورها نسبت به ياددهي– (Belief System) ! هدف بنيادي بخش نخست: اصلاح نظام باورها

يادگيري رياضيات و باورهاي مربوط به موضوع رياضيات.

چند انديشه اساسي حاكم بر فصل اول:

الف‐ رويكرد فرهنگي‐ تربيتي مبتني بر فرهنگ اسلامي‐ ايراني. اين رويكرد براساس اسناد پژوهشي رسمي وزارت آموزشو پرورش پيرامون اين موضوع شكل گرفته است. در حوزة علمي آموزش رياضي از رويكردهاي فرهنگ مدار مبتني بر نظريه ويگوتسكي استفاده ميشود. (براي پياده سازي اين رويكرد ازمنابع دورة تمدن اسلامي با محوريت ا يران استفاده شده است.

ب‐ از مدلهاي آموزشي – تعليمي سه مرحله اي و پنج مرحله اي براي سازماندهي ساختارمتن استفاده شده است.

پ‐ راهبرد تقريبهاي متوالي و مهارت تقريب زدن به عنوان زيرساخت و بستر ياددهي‐ يادگيري اين فصل قرار دارند، بنابراين ميتوان آنها را از اهداف محتواي فرايندي – مهارتي برنامه ريزي شدة اين فصل قلمداد كرد. به علاوه مهارت تعميم دادن نيز از اهداف محتواي فرايندي‐مهارتي برنامه ريزي شدة اين فصل است.

ت‐ سازماندهي محتوا و ساختار متن بر پاية فعاليتهاي فكري رياضي، بحث گروهي و ارائه دركلاس شكل گرفته است.

تقريب زدن π  روش غياثالدين جمشيد كاشاني دربارة تقريب زدن عدد محيط و مساحت دايره محور قرار ميگيرد و با روش ارشميدس به طور موازي و گام به گام مقايسه ميشود.

نقشة مفهومي بخش دوم:

دقت/تقريب

نياز به استدلال

دايره، چندضلعي محيطي و محاطي،

قضيه فيثاغورس

قضيه اصلي تشابه ارشميدس

قضيه اصلي كاشاني

انديشه و راهبردتعميم دادن

دنباله و رابطه بازگشتي

راهبرد/ تقريبهاي متوالي

انديشة قضيه ساندويچي

مقايسه كار كاشاني و ارشميدس

راهبردهاي حدس وآزمايش، الگويابي،مدلسازي، جدول نظام دار

تقريبزدن٣√ و Л  

تقريب عدد محيط و مساحت دايره

بسط اعشاري اعداد حقيقي

گوياها/ گنگها/چگال بودن

е تقريب زدن

محاسبة خطا

نابرابريها،قدر مطلق

مهارت مقايسه كردن

٣‐ قسمت پاياني فصل): موضوعات بسط اعشاري اعداد حقيقي، دقت و تقريب، محاسبه خطا، نيازبه استدلال با پرداختن به گوياها، گنگها و مفهوم چگال بودن محور قرار ميگيرد ونابرابريها درگيرميشوند.

نقشة مفهومي بخش سوم:

بسط اعشاري اعداد حقيقي

دقت/ تقريب

محاسبه خطا

چگال بودن اعداد گنگ در اعداد حقيقي

خواص قدر مطلق

نابرابريها

استدلال و اثبات

تقريبا عداد گنگ با اعداد گويا

بارم بندی حسابان و ریاضی3 جدید

حسابان چاپ 89

فصل ها	نوبت اول	نوبت دوم وشهریور
اول	10	4
دوم	10	4
سوم	-	3
چهارم	-	4
پنجم		5
جمع	20	20

ریاضی سه چاپ 89

فصل ها	نوبت اول	نوبت دوم وشهریور
اول	8	4
دوم	12	7
سوم	-	5
چهارم	-	4
جمع	20	20

تابع درخت كريسمس

يكي از مباحث اساسي در رياضيات ، بررسي نقطه هاي پيوستگي وناپيوستگي توابع مي باشد. به عنوان مثال مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي تابع براي عبارت است از مجموعه ي اعداد صحيح ( Z ) . و يا تابع f كه با ضابطه ي زير تعريف مي شود :

در هيچ نقطه اي پيوسته نيست و لذا مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي آن ، R است . اين تابع به تابع ديريكله مشهور است .
مطلبي كه در اين مقاله در پي آن هستيم ، معرفي تابعي است كه مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي و پيوستگي آن به ترتيب :  اعداد گويا و گنگ بازه ي  باشند .

 

 

 

 

تابع f را بر با ضابطه ي در نظر بگيريد . ادعا مي كنيم كه اين ، همان تابع مطلوب است.

اگر عدد گوياي دلخواهي در باشد ،عدد حقيقي را طوري مي گيريم كه باشد . اكنون براي دلخواه ، اگر y عدد گنگ دلخواهي در باشد ، آن گاه اما ، پس اين تابع در هيچ نقطه ي گويائي از پيوسته نيست .

با روشي مشابه اين تابع در 0=x ناپيوسته است . پس در تمام نقطه هاي گوياي    ناپيوسته است .

حال اگر x عدد گنگ دلخواهي در و عدد حقيقي دلخواه باشد ، چون مجموعه ي متناهي است [چرا؟]پس براي مجموعه ي m هاي طبيعي كه متناهي است .اكنون قرار مي دهيم :

  ،به دليل گنگ بودن x  داريم : .

حال اگر عدد گوياي دلخواهي باشد ، آن گاه  [به تعريف اخير توجه كنيد]. و لذا .

 اگر گنگ باشد آن گاه .

اين بحث نشان مي دهد كه مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي و پيوستگي تابع مورد نظر به ترتيب عبارت اند از : اعداد گويا و اعداد گنگ بازه ي  .

اكنون نمودار اين تابع را در زير مي آوريم :

 

 

به دليل شباهت نمودار اين تابع به شكل درخت كريسمس ، اين تابع را تابع درخت كريسمس گويند .

 

 

حل معادله درجه 3

روش خیام(هندسی) در حل معادله درجه 3

حدود 900 سال پیش ،خیام روشی هندسی برای حل معادله ي درجه ي سوم به شكل:

                           () ارائه کرد که در اين جا به آن پرداخته ايم:

1)ابتدا یک سهمی به معادله ي را رسم می کنیم.

2)دایره اي به قطر رسم می کنیم ،به طوری که مرکز آن روی محور xها قرار داشته ودایره بر محور yها مماس باشد.(مانند آن چه که در شکل زیر آمده است.)

 

3)دایره ي رسم شده،سهمی رادرنقطه ي P قطع می کند،از P عمودی برمحور xها رسم کرده و نقطه ي تقاطع را Q می ناميم.

اندازه ي پاره خط AQ ريشه ي معادله است.

 اثبات:معادله ي دايره ي به مركزو شعاع عبارت است از:.اگر اين دايره را با سهميقطع دهيم به معادله ي مي رسيم و اين يعني اندازه ي پاره خط AQ ريشه ي معادله ي درجه ي سوم مزبور است.

محاسبه دو کوادريليومين رقم عدد پي

---

محقق شرکت ياهو با استفاده از هزار رايانه اين شرکت و صرف 23 روز زمان، دو کوادريليومين رقم از عدد ثابت پي را محاسبه کند.

«نيکلاس ژه» از شرکت ياهو اعلام کرد زماني که عدد پي در قالب دوتايي بيان مي شود، رقم دو کوادريليوم (عدد دو به همراه 15 صفر) آن صفر خواهد بود. وي با استفاده از تکنولوژي محاسبات ابري Hadoop براي محاسبه تقريبا دو برابر ارقام به ثبت رسيده پيشين از عدد پي استفاده کرده است. محاسبه اين عدد 23 روز زمان برده و هزار رايانه از رايانه هاي شرکت ياهو درگير آن بوده اند اين در حالي است که استفاده از رايانه هاي معمولي براي محاسبه چنين عددي به 500 سال زمان نياز داشته است.
براي حل بخش اصلي اين مسئله زمينه استفاده از فناوري Mapreduce گوگل به وجود آمد، نرم افزاري که مسئله هاي بزرگ را به مسائلي خردتر و کوچکتر تقسيم مي کند و با ترکيب پاسخ هاي اين مسئله هاي جزئي تر اقدام به يافتن پاسخ نهايي مي کند. در شرکت ياهو از خوشه اي هزار رايانه اي از اين الگوريتم براي حل معادله اي که ارقامي خاص از عدد پي را تعيين مي کرد، استفاده شد.
تلاش براي محاسبه طولاني ترين امتداد براي عدد پي از گذشته به رقابتي جدي و مهم ميان رياضيدانان تبديل شده است اما رويکرد جديد بسيار متفاوت از محاسبه تمامي ارقام عدد پي براي شکستن رکورد طولاني ترين دنباله اين عدد است و به محاسبه تک رقم ها در جايگاهي تعيين شده در دنباله عدد پي مي پردازد. رکورد پيشين طولاني ترين ارقام محاسبه شده عدد پي به ژانويه سال جاري باز مي گردد که در آن تاريخ 2.7 تريليون رقم از اين عدد محاسبه شد.
هر يک از رايانه هاي Hadoop بر روي فرمولي کار مي کردند که معادله اي پيچيده عدد پي را به مراحل رياضياتي کوچکتري تقسيم مي کرد که پاسخ هر يک از آنها يکي از ارقام عدد پي به شمار مي رفت.
دانشمندان و رياضيدانان معتقدند اين شيوه از محاسبه تک رقمهاي عدد پي علاوه بر ايجاد فرصتي مناسب براي آزمودن توانايي سخت افزارها و تکنولوژي هاي رايانه اي جديد مشابه Hadoop، در فيزيک، رمزنگاري و اکتشاف داده ها بسيار کاربردي خواهد بود.

دنباله فیبوناتچی

در سال 1202 لئونارد فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند که بعدها بعنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید. آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، بسادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید :


0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ...

البته برخی از ریاضیدانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :


1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...

و یا :

1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179و ...

بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلائی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد 1.618033988749895 می رسیم که با تقریب 14 رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا باتقریب می توان اینگونه نمایش داد :




که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

معمای زاد و ولد خرگوش

در واقع فیبوناچی در سال 1202 به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما" باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟


لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی حدود سال 1200 میلادی مساله ای طرح کرد : فرض کنید که یک جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یک جفت خرگوش نر و ماده جدید بدنیا بیاورند ... اگر هیچ خرگوشی از بین نرود , در پایان یک سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

فیبوناچی تصمیم گرفت برای محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض کند.
پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط یک جفت اصلی وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست میکند.
سپس او متوجه شد که با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسیم میشوند: Fn-1 تعداد جفتهای قدیمی و تعداد جفتهای جدید پس از N-1 ماه است .چون جفت جدید پس از یک ماه تولید میشود و بعد از یک ماه دیگر اولین جفت خود را تولید میکند ... تعداد جفتهای جدید برابر تعداد جفتهای دو ماه قبل است که با Fn-1 نشان داده میشود .
پس :

Fn= Fn-1 + Fn-2

با استفاده از این فرمول و مقادیر اولیه F1 =1 و F2 =2 میتوان تعداد جفتها را پس از یک سال بدست اورد و نوشت F12=233 .
با یک توافق عمومی مقادیر اولیه از 1 و 1 بجای 1و 2 شروع میشود (بطوری که جمله های دنباله بصورت زیر نوشته میشوند)

... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
پس پاسخ این سئوال را در ابتدای مطلب بیان کرده بودیم.

مارپیچ فیبوناچی

به شکل اول نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.

سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزیک و علوم طبیعی کاربردهای بسیار دیگری دارد، ارتباط زیبای فاصله های خوش صدا در موسیقی، چگونگی تولد یک کهکشان و ... از جمله این کاربردهاست.

مشتق گیری و مشتق پذیری

 

در گذشته مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند: 

                                                                                            
که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند: 

                                                                    
معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:

                                        یا              یا         

 

 یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.
تعبیر هندسی مشتق:

از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حد گیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:

                                                                                                   
 

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:

                                                                                           
   

سری تیلور

---

سری تیلور

در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

...+5+4+3+2+1

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.

 سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:

 این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.

 a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.مجموع n جمله اول یک سری رابا نشان میدهند
در صورتی که   به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند. هر سری تابعی به شکل

را یک سری توانی بر حسب میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید

حال به قضیه مهمی به نام قضیه تیلور میرسیم؛طبق این قضیه میتوان هر تابعی را که در یک بازه بینهایت بار مشتق پذیر باشد میتوان در این بازه به صورت یک سری توانی نامتناهی که به سری تیلور معروف است نشان داد.به عنوان مثال تابعی مانند را میتوان به صورت جمع توابعی بر حسب نوشت.
قبل از اینکه به توضیح کامل درباره این سریها بپردازیم.مثالی را در مورد این سریها بیان میکنیم.تابع sinx را در نظر بگیرید.این تابع را میتوان به صورت سری زیر بیان کرد:

لازم به توضیح است که در سری فوق c=0 در نظر گرفته شده است.

در اشکال زیر نمودار سری به ازای n=4؛ n=7 و نمودار sinx از راست به چپ رسم شده است.
همانطور که مشاهده میشود هر قدر تعداد جملات سری افزایش یابد شکل آن به یک منحنی تبدیل مشود.و اگر تا بینهایت رسم شکل ادامه یابد به شکل تابع sinدر می آید.

                                   
حال به شکل تابع sinx توجه کنید متوجه میشوید که با ادامه روند رسم اشکال به ازای nهای نامتناهی سرانجام به شکل sinx خواهیم رسید.
حال در ادامه به تشریح کامل سریهای تیلور می پردازیم.

ادامه نوشته

تاریخچه حساب دیفرانسیل و انتگرال

 حساب دیفرانسیل و انتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است.

حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای برآورده کردن نیازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ریشه های این علم را میتوان تا هندسه کلاسیک یونانی میتوان ردیابی کرد
حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شیب خمها را تعریف کنند، زاویه آتشباری توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند،و زمانهایی که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را از هم دارند،پیش بینی کنند.
پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ آیزاک نیوتن و لایب نیتس انجامید،یوهانس کپلر منجم با بیست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سیارات را کشف کرد:

قانون اول کپلر

1.هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکث میکندکه یک کانونش در خورشید است


2.خط واصل بین خورشید و ستاره در مدتهای مساوی مساحتهای مساوی را طی میکنند

قانون دوم کپلر

3.مربع گردش هر سیاره به دور خورشید،متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سیاره از خورشید
ولی استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است.
قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال

امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال در آنالیز ریاضی قلمرو واقعا گسترده ای دارد و فیزیکدانان و ریاضیدانان که اول بار این موضوع را ابداع کردند مسلما شگفت زده و شادمان می شدند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل میکند.
امروزه اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایشهای کلی اقتصادی استفاده می کنند. اقیانوس شناسان برای فرمول بندی نظریه هایی درباره جریانهای دریایی بهره میگیرند،و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو به کار میگیرند،دانشمندان علوم فضایی آن را برای طراحی موشکها به کار میبرند.روانشناسان از آن برای درک ثوهمات بصری استفاده می کنندو...
به طور خلاصه حساب دیفرانسیل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزایی دارد.

بزرگان این علم

این علم عمدتا کار دانشمندان قرن هفدهم اسث. از میان این دانشمندان میتوان به رنه دکات ،کاوالیری،فرما
و جیمز گرگوری اشاره کرد.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن 18 با سرعت زیادی ادامه یافت، در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند میتوان به برادران برنولی اشاره کرد.در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند.
تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن 19 از جمله لوئی کوشی و کارل وایرشتراس بر عهده گرفتند.
مطلب را با سخنی از جان فون نویمان که از ریاضیدانان بزرگ قرن بیستم است به پایان میبریم « حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است و درک اهمیت آن کار آسانی نیست. به عقیده من،این حساب روشنتر از هر مبحث دیگری مرحله آغازین ریاضیات نوین را توصیف می کند؛و نظام آنالیز ریاضی، که توسیع منطقی آن است،هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید.»

قضیه فشردگی در حد توابع

قضيه ي فشردگي حدود

قضيه اي كه از نظر شما خواهد گذشت ، در حل تعداد قابل توجهي از مساله هاي حد ،كاربرد دارد...

 

 

قضيه ي فشردگي حدود:

اگر  آن گاه :  .(اين قضيه براي حدهاي يك طرفه و بي نهايت هم برقرار است.) 

 مثال:  را بيابيد.

با توجه به شكل زير و استفاده از قضيه ي فشردگي ، نتيجه مي شود كه حد راست برابر 0 است.براي بررسي حد چپ،كافي است نيمه ي ديگر نمودار تابع را در نظر بگيريم كه مشابها" نتيجه مي شود كه حد چپ نيز برابر 0 است و لذا حد مذكور برابر 0 است .   

 

تمرين :حدود زير را بيابيد .(x عددي حقيقي و [y]معرف جز صحيح y است .)

سری عکس اعداد اول

 

يك سري جالب

در اين مقاله در باره ي رفتار سري عكس اعداد اول بحث مي شود ...

 اگر مبحث سري ها را مطالعه كرده باشيم ، مي دانيم اولين موضوعي كه بلافاصله مطرح مي شود مساله ي  همگرائي وواگرائي سري ها است .يكي از مشهورترين سري هاي واگرا سري مي باشد كه به سري همساز معروف است .سوال : اگر به جاي n ها اعداد اول را قرار دهيم ، رفتار سري چگونه است؟

 

اولين بار اويلر در سال 1737 ثابت كرد كه اين سري واگرا مي باشد .

در اين جا اثباتي از اين موضوع كه از آن كلاركسون (Clarkson) است را مي آوريم .

پيش از اثبات ،يكي از آزمون هاي مشهور همگرائي سري ها كه به آزمون انتگرال معروف است را مي آوريم :

آزمون انتگرال : اگر تابع نزولي و باشد آن گاه همگرا است اگر متناهي باشد و واگرا است اگر باشد .

اكنون به اثبات واگرائي سري مي پردازيم :

اگر اين سري همگرا باشد پس عددي طبيعي چون k موجود است كه.

فرض كنيد .  براي عدد طبيعي دلخواه n،عدد 1+nQ را در نظر بگيريد . اين عدد برهيچ يك ازاعداد بخش پذير نيست .[چرا؟] بنابراين همه ي عامل هاي اول 1+nQ در ميان اعداد اول قرار دارند . بنابراين به ازاي هر داريم :

[ چرا؟]

اما طرف راست اين نامساوي تحت تسلط سري هندسي همگراي مي باشد . پس سري داراي مجموع هاي جزئي كراندار بوده ولذا همگرا است .[چرا؟]

اما :

واين يعني طبق آزمون انتگرال ، سري واگرا است واين با موضوع فوق در تناقض است .

 بنابراين سري واگرا مي باشد .

منبع :كتاب نظريه تحليلي اعداد ، نوشته تام .م.آپوستل

 

تابع دیریکله

 

 برای دانلود فایل Dirichlet Function  روی لینک زیر کلیک کنید

دانلود فایل

کاشف لگاریتم

کاشف لگاریتم

درمیان جمیع دستگاههای لگاریتمی ممکن(با پایه بزرگتر از 1) تنها دو دستگاه متداولند ، که یکی از آنها لگاریتمهای طبیعی هستند که بر مبنای عدد نپرین بنا شده اند. ودر ریاضیات عالی تنها لگاریتمهایی که تقزیبا منحصرا به کار میروند لگاریتمهای طبیعی اند.

پایه لگاریتم طبیعی (~ 2.71828)، اولین بار توسط لئونارد اویلر (Leonhard Euler 1707-83) یکی از باهوشترین ریاضیدانان تاریخ ریاضیات مورد استفاده قرار گرفت. در یکی از دست خطهای اویلر که ظاهرا" بین سالهای 1727 و 1728 تهیه شده است با تیتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اویلر از عدی بنام e صحبت می کند. هر چند او رسما" این نماد را در سال 1736 در رساله ای بنام Euler's Mechanica معرفی میکند.

در واقع باید اعتراف کرد که اویلر کاشف یا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردی بنام جان نپیر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامی که روی لگاریتم بررسی می کرده است بحث مربوط به پایه طبیعی لگاریتم را به میان کشیده است. فراموش نکنید که شواهد نشان میدهد حتی در قرن هشتم میلادی هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشته اند.

در اینکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اویلر نمایش داده شده است صحبت های بسیاری است. برخی e را اختصار exponential می دانند، برخی آنرا ابتدای اسم اویلر (Euler) می دانند و برخی نیز میگویند چون حروف a,b,c و d در ریاضیات تا آن زمان به دفعات استفاده شده بود، اولر از e برای نمایش این عدد استفاده کرد.

معرفی چند نرم افزار برای تلفن همراه

همکاران محترم می توانند با لینک کردن آدرس زیر  نرم افزارهای مربوط به رسم نمودار و حل معادله و رسم نمودار تابع مشتق و ....... را به صورت رایگان دانلود کنند :

http://www.math4mobile.com/