سری تیلور

---

سری تیلور

در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

...+5+4+3+2+1

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.

 سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:

 این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.

 a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.مجموع n جمله اول یک سری رابا نشان میدهند
در صورتی که   به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند. هر سری تابعی به شکل

را یک سری توانی بر حسب میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید

حال به قضیه مهمی به نام قضیه تیلور میرسیم؛طبق این قضیه میتوان هر تابعی را که در یک بازه بینهایت بار مشتق پذیر باشد میتوان در این بازه به صورت یک سری توانی نامتناهی که به سری تیلور معروف است نشان داد.به عنوان مثال تابعی مانند را میتوان به صورت جمع توابعی بر حسب نوشت.
قبل از اینکه به توضیح کامل درباره این سریها بپردازیم.مثالی را در مورد این سریها بیان میکنیم.تابع sinx را در نظر بگیرید.این تابع را میتوان به صورت سری زیر بیان کرد:

لازم به توضیح است که در سری فوق c=0 در نظر گرفته شده است.

در اشکال زیر نمودار سری به ازای n=4؛ n=7 و نمودار sinx از راست به چپ رسم شده است.
همانطور که مشاهده میشود هر قدر تعداد جملات سری افزایش یابد شکل آن به یک منحنی تبدیل مشود.و اگر تا بینهایت رسم شکل ادامه یابد به شکل تابع sinدر می آید.

                                   
حال به شکل تابع sinx توجه کنید متوجه میشوید که با ادامه روند رسم اشکال به ازای nهای نامتناهی سرانجام به شکل sinx خواهیم رسید.
حال در ادامه به تشریح کامل سریهای تیلور می پردازیم.

ادامه نوشته

---

---

 

تئوری اعداد

تئوری اعداد number theory شاخه ای از ریاضیات محض pure mathematics است که در مورد خواص اعداد صحیح integers بحث می کند و حاوی بسیاری مسائل است که حتی غیر ریاضیدانان به راحتی آنها را متوجه می شوند .به طور کلی ایـن شاخه ، مسائل مربوط به مطالعه اعداد صحیح را مطرح می کند. تئوری اعداد را می توان بنا به روشهای بررسی سؤالات به چندین بخش تقسیم کرد. مثلاً به سرفصل های تئوری اعداد مراجعه نمایید .

• تئوری مقدماتی اعداد ،اعداد صحیح را بدون توجه به تکنیک های ریاضی به کار رفته در سایر شاخه ها بررسی می کند . مسائل بخش‌پذیری divisibility ، الگوریتم اقلیدسیEuclidean algorithm ، محاسبه ی بزرگترین مقسوم الیه مشترک greatest common divisors ، تجزیه ی اعداد به اعداد اول prime numbers ، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی ها congruences در این رده هستند . نمونه ها قضیه ی کوچک فرما Fermat’s little theorem ، و قضیه ی اولر Euler’s theoremهستند و به طور عام قضیه ی باقیمانده ی چینی Chinese remainder theorem و قانون تقابل درجه ی دوم quadratic reciprocity هستند . خواص توابع ضربیmultiplicative functions مانند تابع موبیوس Mobius function و تابع اولر Euler's φ function و همینطور دنباله ی اعداد صحیح integer sequences مانند فاکتوریل هاfactorials و اعداد فیبوناچی Fibonacci numbers در همین حوزه بررسی میشوند . بسیاری از سؤالات در تئوری مقدماتی اعداد شدیداً عمیق هستند و نیاز به بازنگری هایی دارند . به عنوان نمونه :

انگاره‌ی گلدباخ Goldbach conjecture که می‌گوید آیا هر عدد زوجی حاصل‌جمع دو عدد اول است یا نه.

• انگاره‌ی کاتالان Catalan’s conjecture که در مورد توانهای متوالی اعداد صحیح است .
• انگاره‌ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture که در مورد بینهایت بودن اعداد اول دوقلو است.
• انگاره‌ی کولاتز Collatz conjecture که در مورد تکرار ساده می‌باشد .
• معادلات دیوفانتیDiophantine نیز هنوز تصمیم ناپذیر است.

تئوری تحلیلی اعداد Analytic number theory ازحسابانcalculus و آنالیز مختلطcomplex analysis برای مطالعه‌ی اعداد صحیح استفاه می کند و با سؤالاتی در مورد اعداد صحیح دست و پنجه نرم می کند که در تئوری مقدماتی اعداد بررسی و بحث در مورد آن بسیار دشوار به نظر می‌رسد . قضیه ی اعداد اولprime number theorem و فرضیه ریمان Riemann hypothesis مثال هایی از آن هستند . مسئله ی وارینگ Waring’s problem ( که عدد صحیحی را به صورت جمع چند مربع یا مکعب چند عدد نشان می دهد ) ،انگاره‌ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture(که تعداد بینهایت عدد اول با اختلاف 2 را پیدا می کند ) ، و فرضیه ی گلدباخGoldbach’s conjecture ( که عددهای زوج داده شده را به صورت مجموع دو عدد اول پیدا می کند ) با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته شده اند . اثبات متعالی بودن transcendence ثابت های ریاضی ، مانند e و پی در بخش تئوری اعداد تحلیلی قرار دارند . بعضی ها حکم هایی در مورد اعداد متعالی را از محدوده ی مطالعات اعداد صحیح خارج می کنند ، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله ایها با ضریب های صحیح مانند e و پی به مبحث تقریب دیوفانتین Diophantine aproximation ارتباط نزدیک دارند ؛ و سؤال آنها این است که چگونه می توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا rational تقریب زد ؟

تئوری جبری اعداد ، مفهوم عدد را به اعداد جبری algebraic numbers که همان ریشه های چند جمله ایها با ضرایب گویا rational coefficient هستند گسترش می‌دهد.در این حوزه مباحثی همانند اعداد صحیح به نام اعداد صحیح جبری algebraic integers وجود دارد . در اینجا لازم نیست به صورت های آشنای اعداد صحیح ، ( مانند تجزیه یکتا the unique factorization) پایبند باشیم .مزیت روش استفاده شده --تئوری گالوا Galois theory ، میدان همانستگی field cohomology ، تئوری رده ی میدان class field theory ، نمایش گروه ها group representations و L-تابع‌ها L-functions این است که به ما اجازه می دهدبرای این رده از اعداد ، این ترتیب را تا حدودی بپوشانیم .تعدادی از سؤالات قضیه ی اعداد با مطالعه پیمانه p برای کلیه اعداد اول p مورد حمله قرار گرفته شده اند . (به میدانهای متناهی finite fields مراحعه کنید ) .به چنین چیزی localization می گویند که به ساختمان اعداد p ادیک p-adic numbers می انجامد . به این محدوده تحلیل موضعی local analysis می گویند که از تئوری اعداد جبری ناشی می شود .

تئوری ترکیبیاتی اعداد به بررسی ، مطالعه و حل مساله‌های تئوری اعداد با استفاده از تکنیک‌های ترکیبیاتی می‌پردازد. پل اردوش کارهای بزرگی در این زمینه انجام داد. روش‌های جبری و تحلیلی در این شاخه از تئوری اعداد کاربرد فراوان دارند.

تئوری هندسی اعداد همه ی فرم های هندسی را در بر می گیرد ؛و از قضیه ی مینکوسکی Minkowski’s theorem در ارتباط با نقاط مشبکه lattice points در مجموعه های محدب convex sets و جستجو در بسته بندی کره ها sphere packings شروع می شود .هندسه جبری بخصوص خم‌های بیضویelliptic curves نیز به کار می آیند .این تکنیک‌ها در اثبات آخرین قضیه معروف فرما Fermat’s last theorem تاثیر فراوان داشته اند .

تئوری محاسباتی اعداد computational number theory به الگوریتم های تئوری اعداد می پردازد والگوریتم های سریع برای امتحان اعداد اول prime testing و تجزیه اعداد صحیح integer factorization در مبحث کریپتوگرافی cryptography کاربرد های مهمی دارند .

تاریخچه تئوری اعداد

بعد از دوران یونان باستان ، تئوری اعداد در قرن شانزدهم و هفدهم با زحمات ویتViete ، باشه دو مزیریاکBachet de Meziriac ، و بخصوص فرما Fermat دوباره مورد توجه قرار گرفت . در قرن هجدهم اولرEuler و لاگرانژ Lagrangeبه قضیه پرداختند و در همین مواقع لژاندر Legendre و گاوسGauss به آن تعبیر علمی بخشیدند . در 1801 گاوس در مقاله ی Disquisitiones Arithmeticæ حساب تئوری اعداد مدرن را پایه گذاری کرد .

چبیشفChebyshev کران هایی برای تعداد اعداد اول بین یک بازه ارائه داد . ریمان Riemann اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از یک عدد داده شده تجاوز نمی کند . (قضیه ی عدد اول prime number theory. ) و آنالیز مختلط complex analysis را در تئوری تابع زتای ریمان Riemann zeta function گنجاند و فرمول صریح تئوری اعداد اول explicit formulae of prime number theory را از صفر های آن نتیجه گرفت .
تئوری همنهشتی congruences از Disquisitiones گاوس شروع شد . او علامت گذاری زیر را پیشنهاد کرد :

(mod(c

چبیشف در سال 1847 به زبان روسی کاری را در این زمینه منتشر کرد و سره Serret آن را در فرانسه عمومی کرد . بجای خلاصه کردن کارهای قبلی ، لوژاندر قانون تقابل درجه ی دوم law of quadratic reciprocity را گذاشت . این قانون از استقراء induction کشف شد و قبلاً اولر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در تئوری اعداد Théorie des Nombres برای حالت های خاص آن را ثابت کرد . جدا از کارهای اولر و لوژاندر ، گاوس این قانون را در سال 1795 کشف کرد و اولین کسی بود که یک اثبات کلی ارائه داد . کوشی Cauchy ؛ دیریکله Dirichlet ( که مقاله ی Vorlesungen über Zahlentheorie او یک مقاله ی کلاسیک است) ؛ ژاکوبی Jacobi که علامت ژاکوبی Jacobi symbol را معرفی کرد ؛ لیوویلLiouville ؛ زلرZeller ؛ آیزنشتین Eisenstein؛ کومرKummer و کرونکر Kronecker نیز در این زمینه کارهایی کرده اند . این تئوری تقابل درجه دوم و سوم cubic and biquadratic reciprocity را شامل می شود. نمایش اعداد با صورت درجه ی دوم دوتایی binary quadratic forms مدیون گاوس است . کوشی ، پوانسو Poinsot ، لبگ Lebesgue و بخصوص هرمیت Hermite به موضوع چیزهایی افزوده اند . آیزنشتاین Eisenstein در تئوری صورت های سه گانه پیشتاز است ، و تئوری فرمها theory of forms به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیتH. J. S. Smith است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورت های درجه ی دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود . جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع 4، 5 ،6 ، 7 ، 8 ، مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد .

بازی و ریاضی

ساخت چند ضلعی های منتظم با گره زدن کاغذ

 

پنج ضلعی منتظم:

نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد.

 

برای ساخت یک پنج ضلعی منتظم با این نوار به تر تیب زیر عمل کنید:

1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنید

مانند شکل زیر:

 

2. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید.

 

3. نوار های اضافی را ببرید ،پنج ضلعی منتظم بوجود می آید.

4. گره را باز کنید و ذوزنقه های تشکیل شده را با هم بررسی و مقایسه کنید.

 

هفت ضلعی منتظم:

نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد.

 

برای ساخت یک هفت ضلعی منتظم با این نوار به ترتیب زیر عمل کنید:

1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنید. (مانند پنج ضلعی منتظم)

 

2. گره را سفت نکنید و وسط گره (ناحیه ی 1) را در نظر داشته باشید.

3. مجددأ یک سر نوار را به قصد زدن گره دوم زیر سر دیگر برده ،و از ناحیه 1 (وسط گره اول) عبور دهید.

 

4. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید.

 

5. نوار های اضافی را ببرید ،هفت ضلعی منتظم بوجود می آید. 

روشهای حل مساله

1 ) جستجو برای الگو: همواره کار حل مساله را با نوعی ادراک شهودی از مساله شروع می کنیم و با بررسی چند حالت خاص به سوی الگوسازی برای حل کامل آن جلو می رویم.

 ۲) رسم شکل: در هر مساله ای که امکانپذیر باشد رسم یک شکل (اعم از هندسی یا یک نمودار و غیره) می تواند در یافتن حل مساله الهام بخش باشد و رابطه بین اجزا مساله را بهتر نمایان می سازد.

۳) صورتبندی مساله معادل: در بخش قبل دیدیم که گام نخست در حل مساله عبارت است از جمع آوری داده - جستجو - فهمیدن مساله - برقراری ارتباط بین اجزا - حدس زدن و تجزیه تحلیل. ولی اگر همه این کارها به روش معقولی میسر نباشد چه کنیم؟ یعنی اینکه ممکن است کارهای محاسباتی خیلی پیچیده باشد و یا به سادگی نتوانیم حالتهای خاصی را مطرح کنیم تا به بینش لازم برسیم.آنچه در چنین شرایطی توصیه می شود این است که مساله را با مساله ای معادل ولی ساده تر جایگزین کنیم. راه کلی در این گونه معادل سازی به بینش و تجربه های عمومی باز می گردد ولی کارهایی از قبیل دستکاریهای جبری یا مثلثاتی و تفسیر مجدد مساله با زبانی دیگر می تواند موثر باشد.

 ۴) تغییر مساله: در بعضی مسائل می توانیم مساله مورد نظر را به مساله دیگری تبدیل کنیم. این دو مساله لزوما معادل یکدیگر نیستند ولی حل مساله دوم حل مساله اول را نتیجه می دهد.

۵) انتخاب نمادهای مناسب: از نخستین گامها در حل مساله های ریاضی تبدیل مساله به صورتی نمادین می باشد. در انتخاب نمادها باید هر ایده کلی را ملحوظ داشته و آن را با نمادی بیان کنیم. بی دقتی در انتخاب نمادها ممکن است به از بین رفتن یا مبهم شدن بعضی از روابط منجر شود.

۶) استفاده از تقارن: وجود تقارن در یک مساله موجب می شود که با عملیات کمتری مساله را به جواب برسانیم.

۷) تجزیه به حالتهای ساده تر: گاهی اوقات می توان یک مساله را به تعدادی مساله ساده تر و کوچکتر تبدیل کرد که هر کدام از این مسائل ساده تر را می توان جداگانه در نظر گرفت.

۸) کار عقب رونده: کار عقب رونده یعنی اینکه نتیجه مورد نظر را مفروض گرفته شروع به استنتاج هایی از آن کنیم تا به یک مساله حل شده برسیم. در این صورت گامهای معکوسی را در نظر بگیریم تا به نتیجه مطلوب دست پیدا کنیم.

 ۹) بررسی نقیض: استفاده از تناقض یعنی مفروض گرفتن نادرستی حکم و با استنتاج به نتیجه نادرست یا متناقضی رسیدن از روشهای آشنا در ریاضیات است.

۱۰) زوجیت: ایده ساده زوج و فرد بودن یکی از ابزارهای بسیار قوی در حل مساله است که کاربردهای وسیعی دارد.

۱۱) بررسی حالتهای حدی: در برخورد اولیه با مساله بعضی اوقات تغییردادن پارامترها بین حدهای پایین و بالای ممکن آنها ایده هایی برای حل مساله به همراه خواهد داشت.

 ۱۲) تعمیم: معمولا ساده سازی یک مساله راهگشای حل آن است. اما در بعضی موارد حالت تعمیم یافته مساله سهل تر قابل حل است و حالت مورد نظر را می توان به عنوان یک حالت خاص نتیجه گرفت. در واقع ایده تعمیم و در کنار آن مجرد سازی ویژگی خاص ریاضیات نوین است. در پایان اشاره می کنم که سعی کنید یک مساله را در صورت امکان به چند روش حل کنید. این کار باعث بهبود سرعت و خلاقیت شما در حل مسائل دیگر می شود. روشهای مختلف حل مساله بخشهایی از زوایای پنهان مساله را برای شما آشکار می کند

دسته بندی مسائل هندسه

متنی را که مشاهده می فرمایید توسط استاد محترم جناب آقای روشن در تاریخ ۲۰/۱۰/۸۸ برای انجمن ارسال شده است. ( با تشکر از ایشان )

مامعلمين رياضی معمولاٌ درکلاس های آخردبيرستان و کلاس های اول دانشگاه بااين سئوال ازطرف بعضی ازدانش آموزان رياضی مواجه می شويم که :اصلاٌ رياضيات به چه درد می خورد؟

 دکتر اميدعلی کرم زاده استاددانشگاه شهيدچمران اهواز وعضوکميته ملی المپياد :

 من اعتقاددارم که رياضی رابايد((آن طور که هست )) به ديگران بياموزيم . بايدتوجه کردکه

رياضيات تنهامجموعه ای ازحقايق نيست که آن ها رابه شکل قضيه ، لم ومسأله به ديگــــران

نشان دهيم ،بلکه رياضی يک تفکراست که مابه وسيله ی اين مجموعه ازقضاياومسائل بايد آن رادرکسانی که خواستارآن هستند به وجود آوريم ،تاهرکس باهرمقداررياضی که می داند، بتواندبا مسائل برخوردکند چه مسائلی که درخودرياضی مطرح می شوند وچه درخارج آن ..................

شايد ايشان نيز همان صحبت استادپرويزشهرياری را _البته محترمانه تر _ فرياد می زنند که :

                 رياضيات معمولاٌ بدتدريس می شود......!!   

آقا بگذريم ..............

سلسله مقالاتی که به تدريج ارائه می گردد ،شايد پاسخی باشد به برخی از دانش آموزان

بااين باور که :

حل مسأله های هندسه بيش ازديگرمسائل رياضی به تلاش های فکری نيازدارد وکاری دشواراست...................

که ضمن تأييد ِتقريبی و نسبی ِ نظراين دوستان، کوشيده ايم تاباشيوه ای خاص راهِ

چيرگی براين مشکل را عرضه کنيم آن هم با ارائه مقالاتـــــــــی تحت عناوين : 

1 – دسته بندی مسائل هندسه

2 – چگونگی دستيابی به راه حل يک مسأله

3 – روش های حل مسأله های ساده بازمينه ی ويژگی های باب هندسی

4 – روش های حل مسأله های ساده ی دارا ی ويژگی های اندازه ای

5 – روش های حل مسأله های ساده ی محاسبه ای

6 – بررسی فشرده ی مسأله های مکان هندسی و مسأله های ترسيمی

7 – هندسه در المپـیـاد

تاچه قبول افتد و چه درنظرآيد

برای مشاهده بقیه متن   فایل مربوطه را دانلود کنید

دانلود فایل

 

 

مقسوم علیه های یک عدد

 

مقسوم علیه

  مقسوم علیه های یک عدد: هر عدد طبیعی بر تعدادی از عددها بخشپذیر است که مقسوم علیه های آن عدد می باشند.

 مثال: عدد 20 بر عددهای 1 , 2, 4 , 5 , 10 , 20 بخشپذیر است، پس:

 {20, 10, 5, 4, 2, 1} = مجموعه مقسوم علیه های عدد 20

  عدد اول ( Prime number ):

هر عدد طبیعی بزرگتر از یک که غیر از خودش و یک مقسوم علیه دیگری نداشته باشد ، عدد اول نامیده می شود. 2, 3 , 5 , 7 اعداد اول کوچکتر از 10 هستند.

 

 با توجه به شکل های بالا می توان گفت که عدد 5 عددی اول و عددهای 10 , 12 , 20 عدد اول نمی باشند.

 مقسوم علیه های اول یک عدد:

مقسوم علیه های اول یک عدد را به دو روش می توانیم بدست آوریم:

 الف) تجزیه  درختی:

مثال:

  ب) تجزیه خطی:

مثال:

{2,3,5} = مقسوم علیه های اول عدد 60

 توضیح: در این روش برای تجزیه یک عدد از تقسیم آن عدد به عددهای اول کمک می گیریم.

  نمودار مقسوم علیه های یک عدد:

شکل دقیقی است که به کمک آن مقسوم علیه های یک عدد را مشخص می کنند.

برای رسم نمودار مقسوم علیه های یک عدد به صورت زیر عمل می کنیم.

1- مقسوم علیه های اول عدد را بدست می آوریم.

2- به ازای هر مقسوم علیه اول یک یا یک دسته خطوط موازی رسم می کنیم.

3- عدد را بر مقسوم علیه های اول تقسیم کرده تا به کوچکترین مقسوم علیه هر عدد برسیم.

 مثال:

 

ادامه نوشته

تاریخچه حساب دیفرانسیل و انتگرال

 حساب دیفرانسیل و انتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است.

حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای برآورده کردن نیازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ریشه های این علم را میتوان تا هندسه کلاسیک یونانی میتوان ردیابی کرد
حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شیب خمها را تعریف کنند، زاویه آتشباری توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند،و زمانهایی که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را از هم دارند،پیش بینی کنند.
پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ آیزاک نیوتن و لایب نیتس انجامید،یوهانس کپلر منجم با بیست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سیارات را کشف کرد:

قانون اول کپلر

1.هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکث میکندکه یک کانونش در خورشید است


2.خط واصل بین خورشید و ستاره در مدتهای مساوی مساحتهای مساوی را طی میکنند

قانون دوم کپلر

3.مربع گردش هر سیاره به دور خورشید،متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سیاره از خورشید
ولی استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است.
قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال

امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال در آنالیز ریاضی قلمرو واقعا گسترده ای دارد و فیزیکدانان و ریاضیدانان که اول بار این موضوع را ابداع کردند مسلما شگفت زده و شادمان می شدند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل میکند.
امروزه اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایشهای کلی اقتصادی استفاده می کنند. اقیانوس شناسان برای فرمول بندی نظریه هایی درباره جریانهای دریایی بهره میگیرند،و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو به کار میگیرند،دانشمندان علوم فضایی آن را برای طراحی موشکها به کار میبرند.روانشناسان از آن برای درک ثوهمات بصری استفاده می کنندو...
به طور خلاصه حساب دیفرانسیل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزایی دارد.

بزرگان این علم

این علم عمدتا کار دانشمندان قرن هفدهم اسث. از میان این دانشمندان میتوان به رنه دکات ،کاوالیری،فرما
و جیمز گرگوری اشاره کرد.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن 18 با سرعت زیادی ادامه یافت، در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند میتوان به برادران برنولی اشاره کرد.در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند.
تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن 19 از جمله لوئی کوشی و کارل وایرشتراس بر عهده گرفتند.
مطلب را با سخنی از جان فون نویمان که از ریاضیدانان بزرگ قرن بیستم است به پایان میبریم « حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است و درک اهمیت آن کار آسانی نیست. به عقیده من،این حساب روشنتر از هر مبحث دیگری مرحله آغازین ریاضیات نوین را توصیف می کند؛و نظام آنالیز ریاضی، که توسیع منطقی آن است،هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید.»

رابطه ریاضیات و هنر

رابطه ریاضیات و هنر

اهمیت فوق العاده ای که ریاضیات ، در جامعه ی امروزی و در فعالیت های گوناگون تخصص ها دارد، بر کسی پوشیده نیست . باوجود این ، خیلی زیاد نیستند کسانی که علاقمند به ریاضیات باشند. البته تنها کسانی که کار و فعالیتشان به ریاضیات مربوط می شود ، علاقمند به ریاضیات نیستندبلکه کم هم نیستند مشتاقانی که ساعت های فراغت خود را ، با ریاضیات می گذرانند. همه ی این ها چه حرفه ای ها و چه علاقمندان ، نه تنها فایده و اهمیت ریاضیات را می شناسند بلکه در ضمن ، به ریاضیات شوق می ورزند و می توانند زیبایی و ظرافتی که در مسأله ها ، قضیه ها و روش های ریاضی وجود دارد را احساس کنند .

احساس و منطق را با هیچ نیرویی نمی توان از هم جدا کرد و هر جدایی ساختگی منجر به تحریف هر دوی آنها می شود . هر احساس اگر احساس واقعی باشد، خردمندانه است چراکه احساس واقعی نمی تواند جدا از اندیشه و خرد آدمی پدید آید.

ارتباط هنر و ریاضی :

هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه ی سر سبز آرامش خود را باز می یابد ، در عین حال ، به فکر فرو می رود . شاعر احساس درونی خود را بیان می کند . نقاش با قلم و بوم خود تلاش می کند که دیگران را در شادی خود شریک کند .

گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر در رده های خاصی می رود . زبان شناس می خواهد ریشه و سر چشمه ی نام گذاری گیاه و دلیل آن را پیدا کند . داروشناس در جستجوی ویژگی درمانی گیاه است و ریاضی دان نحوه ی قرار گرفتن گل و گلبرگ ها یا اندازه و شکل ها را مورد مطالعه قرار می دهد . ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان و اگر بخواهیم برخورد انسان با گیاه را بررسی کنیم ناچاریم ، به همه ی این جنبه ها توجه داشته باشیم .

ریاضیات و رابطه آن با هنر :

" اشر" نقاش معروف هلندی در سال 1971 میلادی در سن 72 سالگی و یک سال پیش از مرگ خود نوشت :

« وقتی که هوشمندانه با رمز و راز های دور و بر خود برخورد کردم و وقتی به تجزیه و تحلیل مشاهده های خود پرداختم ، به ریاضیات رسیدم . من آموزش جدی در دانش ندیده ام ولی گمان می کنم بیش تر با یک ریاضی دان وجه مشترک داشته باشم تا با یک هنرمند . »

" رودن" (1840- 1917 ) مجسمه ساز مشهور فرانسوی می گوید :

« من یک رویا پرداز نیستم ، بلکه یک ریاضی دان ام . مجسمه های من تنها به خاطر این خوب اند که ساخته و پرداخته ی اندیشه ی ریاضی اند . »

از آن طرف "ج.ه هاردی" ریاضی دان انگلیسی معتقد است :

« معیار ریاضی دان مانند معیار نقاس یا شاعر ، زیبایی است . اندیشه ها هم مانند رنگ ها یا واژه ها باید در هماهنگی کامل و سازگار با یکدیگر باشند . زیبایی نخستین معیار سنجش است . »

ادامه نوشته

هندسه فراکتالی

واژه فراکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. در این هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند.  
  
  همه شما حتی اگر از هندسه نیز چیزی ندانید بارها نام آن را شنیده اید. و حتماً می دانید که «جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از ریاضیات است، همین سه عنوان در ریاضیات پایه گذار پیشرفت در تمام علوم محسوب می شوند.

 شاید همین حس مسئولیتی که ریاضیات به تمام بخش های علوم دارد آن را بسیار جدی و در نظر بسیاری، علمی خشک و در عین حال سخت جلوه داده است. در این میان هندسه نقش بسیار مهمی را حتی در شاخه های ریاضی برعهده دارد.

  هندسه که می توان به آن علم بازی با اشکال لقب داد، خود پایه گذار دیگر شاخه های ریاضی است. زیرا تمام قسمت های دیگر در ریاضیات و علوم دیگر تا به صورت مشهودی قابل بررسی دقیق و اصولی نباشد جای پیشرفت چشمگیری برای آنها نمی توان درنظر گرفت. با این اوصاف، شایسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهیم.شاید اگر زمانی که حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبیعی منتهی می شدو معلم درس ریاضیات از ما می خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاویه ای را که طول هر ضلعش یک سانتی متر است اندازه بگیریم نمی توانستیم عددی را با چنین ویژگی بیابیم .سال ها پیش اقلیدس با حل مسئله ای نظیر این (محاسبه قطر مربعی که هر ضلعش ۱ واحد بود)، سلسله اعداد جدیدی را به مجموعه های شناخته شده اضافه کرد که یکی از شاهکارهای بی نظیر در پیشرفت ریاضیات و البته علوم بود. بله این عدد عجیب و غریب «رادیکال ۲» بود.  عموم تحصیلکردگان با هندسه اقلیدسی آشنا هستند. زیرا دست کم در طول دوران تحصیل خود به اجبار هم که بوده در کتاب های درسی با این هندسه که اصول آن بر مبنای اندازه گیری است آشنا شده اند. اما هندسه اقلیدسی تنها به بررسی اشکال کلاسیک موجود در طبیعت می پردازد. در این هندسه اشکال و توابع ناهموار، آشفته و غیر کلاسیک به بهانه اینکه مهار ناپذیرند، جایی نداشتند.

 بالاخره در سال ۱۹۹۴، طلسم یکی از تئوری های ریاضی که از سال۱۸۹۷، عنوان شده بود، شکست و «مندلبرات(۱)» ریاضیدان لهستانی، پایه گذار هندسه جدیدی شد که به آن هندسه بدون اندازه یا هندسه فراکتالی گویند. هندسه بدون اندازه یکی از شاخه های جدید ریاضیات است که در برابر تفسیر و شبیه سازی اشکال مختلف طبیعت از خود انعطاف و قابلیت بی نظیر نشان داده است. با به کارگیری هندسه فراکتالی، افق روشنی پیش روی ریاضیدانان و محققان در زمینه بازگو کردن رفتار توابع و مجموعه های به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

 

 

ادامه نوشته

هندسه اقلیدسی و نا اقلیدسی

 
هندسه ی اقلیدسی، همان هندسه ای است که شما در دبیرستان و راهنمایی خوانده اید یا می خوانید. هندسه ای است که بیش تر برای تجسم جهان مادی به کار می بریم. این هندسه از کتابی به نام اصول به دست ما رسیده که توسط اقلیدس ، ریاضی دان یونانی ، در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد مسیح نگاشته شده است . تصوری که ما بر اساس این هندسه ازجهان مادی پیدا کرده ایم تا حدی زیاد توسط آیزاک نیوتن در اواخر سده ی هفدهم ترسیم شده است. اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود.درحدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد، روش قاطع هندسه ی یونانی و نگره ی اعداد را دراصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شاهکار، اقلیدس تجربه وکارهای مهم پیشینیان خود را در سده های جلوتر گردآوری کرد.کار عظیم اقیدس این بودکه چند اصل ساده ، چند حکم که بی نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند را دستچین کرد واز آن ها ۴۶۵گزاره نتیجه گرفت که بسیاری از آن ها پیچیده بودند و به طور شهود ی بدیهی نبودند وتمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند .

 

ادامه نوشته

رسم پذیری یک عدد حقیقی

 
عدد a را رسم پذیر گوییم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطی به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر این است که یک واحد طول داده شده باشد.

از این به بعد هر جا کلمه رسم پذیری آمد منظور همان رسم پذیری به وسیله خط کش و پرگار است.

رسم پذیری بعضی عددها بسیار واضح است. مثلا ۱ و ۲ و ... چون اینها ضریبهایی از واحد طول هستند. اما بعضی دیگر احتیاج به بررسی دارند مثل “رادیکال ۲”. آیا این عدد رسم پذیر است؟

از دوران دبیرستان به یاد داریم که : از هر نقطه خارج یک خط مفروض می توان خطی عمود بر آن رسم کرد.

اگر محل تلاقی این دو خط را مبدا در نظر بگیریم به این محور.محور رسم پذیر می گوییم.

در این محور:

۱) (a,۰) یا (۰,a) را رسم پذیر گوییم اگر a رسم پذیر باشد.

۲) (a,b) را رسم پذیر گوییم اگر a و b رسم پذیر باشند.

هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دایره و... یک شکل رسم پذیر گوییم.

* اگر یک پاره خط در این محورها رسم کنیم، طول پاره خط عددی رسم پذیر است.

حال می توانیم به راحتی بگوییم که “رادیکال۲” رسم پذیر است. چون اگر (۰.۱) و (۰و۱) را روی محور به هم وصل کنیم بنابر قضیه فیثاغورث پاره خطی به طول “رادیکال۲″ داریم.

ادامه نوشته

حکیم عمر خیام نیشابوری

 

حکیم عمر خیام نیشابوری

 

اصيل ترين خلاقيت هاىپايان سده ي يازدهم ميلادىدر زمينه ي رياضيات صورت گرفت و از اصيل ترين نابغه هايى كه اين خلاقيت ها را به ايشان مديونيم، عمرخيام ايرانى است. از اين رو شايسته است آن عصر را عصر خيام بناميم. او به طبقه بندى بسيار شايسته اى از معادلات دست زد. از جمله ۱۳ صورت مختلف از معادله هاى درجه سوم تشكيل داد، كوشيد همه ي آن ها را حل كند و براى تعدادى از آن ها راه حل هندسى ارائه داد. به خواست سلطان جلال الدين سلجوقى، گاه شمار تازه اى بنيان گذاشت كه دقت بى اندازه اى داشت، شايد كمى بيش تر از گاه شمارى ما...»
جورج سارتن:هنوز هم، همه، تقويم جلالى را با نام خيام مى شناسند.
تا مدت ها اروپايي ها ايران را با نام خيام مى شناختند. غياث الدين ابوالفتح عمربن ابراهيم خيام (خيامى) در سال ۴۳۹ هجرى (۱۰۴۸ ميلادى) در نيشابور متولد شد. او در زمينه ي رياضيات، فلسفه و نجوم تخصص داشت به طورى كه او را در حكمت، تالى ابوعلى سينا مى خوانند و در رياضيات سرآمد فضلا و در احكام نجوم ،همه قول او رامسلم مى دانستند.
كارهاى خيام در رياضيات، بكر و شگفت انگيز است. او براى نخستين بار در تاريخ رياضى اعلام كرد: معادله هاى درجه سوم را نمى توان تنها با يارى خط كش و پرگار حل كرد.
خيام با تقسيم بندى معادله هاى درجه سوم، اغلب آن ها را به كمك مقاطع مخروطى حل مى كند و امكان وجود دو جواب را براى معادله هاى درجه سوم در بررسى خود قرار مى دهد. البته خيام به جواب هاى منفى معادله توجه نمى كند.در ضمن به سادگى از كنار امكان وجود سه جواب براى معادله هاى درجه سوم رد مى شود.
خيام در فن جبر و مقابله، معلومات تازه اى به دست آورده بود. كتابى در اين باره نوشته كه اثر مهم او در علم همان است. از جمله كارهاى ديگر وى وضع هندسه ي تحليلى است كه برخلاف حقيقت، آن را منسوب به دكارت دانسته اند.

در هر كجاى دنيا كه  از حكمت و رياضيات، ادبيات و نظم و نثر و فلسفه سخن به ميان مى آيد، حكيم عمرخيام يكى از صدرنشينان مجلس  و شمع اصحاب كمال است. ادبيات جهان هم او را به عنوان يكى از مفاخر ايران و مشاهير جهان شناخته است.

مفهوم بعد(dimention)

چه تصوري از مفهوم "بعد" داريد ؟

در اين مقاله ضمن معرفي " مثلث سرپينسكي " و " خاصيت خود شبيهي " تعريفي از مفهوم " بعد " را ارائه مي كنيم ...

 

مثلث متساوی الاضلاعی را در نظر بگيريد. وسط های ضلع های آن را به هم وصل كنيد ومثلث متساوی الاضلاعی كه در وسط پديد می آيد را از آن حذف نمائيد .

اكنون سه مثلث متساوی الاضلاع باقی مانده در شكل را در نظر بگيريد ,وسط های ضلع ها را در هر مثلث به هم وصل كرده واز درون هر يك, مثلث متساوی الاضلاعی كه در وسط پديد مي آيد را حذف نمائيد .

با تكرار اين روش در دو گام بعدی اين شکل ها حاصل می شوند :

اگر اين فرآيند را تا بی نهايت تكرار كنيم شكل به دست آمده را مثلث سرپينسكی گويند .

مـثلـث ســـر پيـنـســكــی

اگر به شكل فوق دقت كنيم در می يابيم كه مثلث سرپينسكي حاوی كپی هايی كوچك تر از خود است كه اين كپی ها هم اندازه بوده و آن را می سازند . مثلا" همان طور كه در شكل مشخص شده است مثلث سرپينسكي حاوی 3 كپی كوچك تر از خود است كه اين كپی ها هم اندازه بوده و آن  را می سازند و اگر اين كپی ها را 2 برابر بزرگ كنيم بر مثلث سرپينسكي منطبق خواهند شد .

در هندسه اين خاصيت را خود شبيهی و كپی های فوق را قطعه های خود شبيه و ميزانی كه كپی ها بايد بزرگ شده تا بر شكل  منطبق شوند را ضريب بزرگ نمايی گويند .

 

ادامه نوشته

یک اتحاد در ریاضیات پایه

  اتحاد Proizvolov

عدد طبيعي دلخواه N و مجموعه‌ي  را در نظر بگيريد. اگر B يك زير مجموعه‌ي دلخواه N عضوي از  بوده و عناصرش را به صورت نزولي مرتّب كنيم يعني  كه  و عناصر مجموعه‌ي  را به صورت صعودي مرتّب كنيم يعني  كه  . آن‌گاه:

 

اين حكم به اتحاد Proizvolov (رياضي‌دان روس) مشهور است.
اثبات: ادّعا مي‌كنيم براي هر i ؛يك عنصر مجموعه ي {, } به  و ديگري به   تعلّق دارد.
اگر اين طور نباشد، يكي از دو حالت زير اتفاق مي‌افتد:
حالت اوّل: براي i ي  داريم: . 
چون  پس لااقل 1+N-i عنصر از B كم‌تر از 1+N هستند و چون  پس لااقل i عنصر از C كم‌تر از 1+N هستند. بنابراين لااقل  عنصر  از 1+N كم تر هستند كه تناقض است.
حالت دوّم: براي i ي داريم:  . با استدلالي مشابه حالت اول نتيجه مي‌شود كه اين حالت نيز نمي‌تواند اتفاق بيفتد.
به اين ترتيب،ادعاي فوق ثابت مي شود و در نتيجه داريم:

 

اعداد

در اين مقاله به معرفي سه نوع از اعداد مي پردازيم...

عدد جبري:

عدد حقيقي را عدد جبري از درجه ي n گوييم هر گاه: ريشه ي معادله ي بوده كه در آن ها اعداد صحيح و است و در هيچ معادله ي با ضرايب صحيح از درجه ي كم تر از n صدق نمي كند.

مثال: عددي جبري از درجه ي 2 است.

عدد متعالي:

عددي كه جبري نباشد را متعالي گوييم.

مثال:اعداد از مشهورترين اعداد متعالي هستند.(روش هاي اثبات متعالي بودن اين اعداد بسيار جالب هستند.)

عدد هندسي:

اين اعداد به صورت چند ضلعي هستند.در زير نمونه هايي از اين اعداد را آورده ايم:

 اعداد مثلثي:

 

 

اعداد مربعي: 

 

اعداد مخمسي:

   

   اعداد مسدسي:

مساله:چه رابطه اي بين چهار نوع عدد هندسي كه در فوق آورده ايم،وجود دارد؟

 

کوتاه ترین فاصله روی استوانه

كوتاه ترين مسير روي استوانه 

دراین مقاله می خواهیم روشي براي به دست آوردن کوتاه ترين مسير بين دو نقطه ي دلخواه كه روي سطح استوانه اي شكلي هستند ، ارائه كنيم .

دو نقطه ي A و B را روی سطح استوانه درنظر می گیریم.عمودهای ، را برقاعده ي استوانه وارد می کنیم . طول های دو عمود و و کمان (كمان كوچك تر را در نظر بگيريد.)از قاعده ي استوانه را اندازه می گیریم و آن هارا به ترتیب c,b,a می نامیم .

ذوزنقه ي قائم الزاویه ي را که در آن طول های به ترتیب برابر c,b,a می باشند و هم چنین نيم خط که موازی است را درنظر می گیریم . پاره خط را به وسیله ي نقطه هاي  و .... به n قسمت مساوی تقسیم می کنیم . از این نقطه ها ،خط هایی موازی با رسم می کنیم ونقطه هاي برخورد آن ها را با به ترتیب: و ..... و با نيم خط به ترتیب :  و.... می نامیم .

طبق قضیه ي تالس در مثلث داریم :

 

(چون نقطه ها را روی پاره خط با فاصله هاي مساوی انتخاب کرده ایم .)
نسبتي كه با نوشتن رابطه اي نظير رابطه ي اخير درمثلث به دست مي آيد، است و.... درمثلث این مقدار به می رسد . پس داریم :

 

برروی کمان از قاعده ي استوانه، نقطه هاي  و.... را چنان انتخاب می کنیم(شكل 1) که طول کمان های  و... برابر طول پاره خط های  و...ازشکل (2) باشد . روی مولدهایی از استوانه که از نقطه هاي و ...می گذرند ، طول های  و... را انتقال می دهیم .
نقطه هاي E,D,C,...كه به اين روش بر سطح استوانه به دست می آیند ، تعداد زیادی نقطه از كوتاه ترين مسير ممكن بين نقطه هاي B,A را مشخص مي كنند . هر چقدر n بزرگ تر باشد با دقت بهتري مي توان كوتاه ترين مسير را رسم كرد .

منبع: كتاب هندسه دلپذير
نوشته ي : دكتر احمد شرف الدين

پارادوکس

پارادوكس (متناقض نما): عبارتي ظاهراً درست است كه به نتايجي تناقض‌آميز منجر شده و وضعيتي به وجود مي‌آيد كه با شهود ما ناسازگار است.
يكي از مهم‌ترين پارادوكس‌هاي رياضي عبارت است از پارادوكس راسل.

 

برتراند راسل     

  برتراند راسل(Bertrand Russell) در 18 مي 1872 در ولز متولد شد و شهرتش به خاطر كارهاي بنيادي او در زمينه هاي مختلفي هم چون منطق رياضي،فلسفه ي تحليلي و ادبيات مي باشد.وي برنده ي جايزه ي نوبل ادبي 1950 و از فعالان ضد جنگ بود.مشهورترين اثر وي كتاب Principia Mathematica مي باشد كه در زمينه ي مباني رياضي و با همكاري آلفرد وايتهد(Alfred N.Whitehead) نوشت.وي در 2 فوريه ي 1970 در ولز درگذشت.
در پارادوكس راسل عنوان مي‌شود كه: «مجموعه‌ي همه‌ي مجموعه‌ها وجود ندارد.»اگر C چنين مجموعه اي باشد , مجموعه ي A را به صورت  تعريف مي كنيم , اگر  چون  در نتيجه   كه تناقض است.اگر  چون  در نتيجه  كه تناقض است.

براي اين پارادوكس به روش‌هاي مختلفي صورت‌هاي عاميانه‌اي ارائه شد.يكي از مشهورترين آن‌ها توسط خود راسل مطرح شد:
آرايشگري در يك دهكده اعلام مي‌دارد كه فقط و فقط صورت افرادي را اصلاح مي‌كند كه خودشان صورت خود را اصلاح نمي‌كنند. پارادوكس از اين‌جا ناشي مي‌شود كه بخواهيم به اين سؤال پاسخ دهيم:

 آيا آرايشگر صورت خود را اصلاح مي‌كند؟
اگر صورت خود را اصلاح كند پس مطابق آن‌چه اعلام كرده، نبايد چنين كند و اگر صورت خود را اصلاح نكند پس مطابق آن‌چه اعلام كرده، بايد صورت خود را اصلاح كند.(اين استدلال را با استدلالي كه در فوق براي پارادوكس راسل مطرح شد مقايسه نماييد.)
 

یک کاربرد ریاضی

تعيين فاصله تا افق

از ساحل به طرف دريا نگاه كنيد به طوري كه چيزي مانع ديد شما نشود.تا افق ، شما آب مي بينيد ، آب و باز هم آب.اما افق چقدر دور است؟ممكن است بي نهايت دور به نظر برسد ولي يك محاسبه ي ساده چيز ديگري را نشان مي دهد.
وضعيت در شكل زير نشان داده شده است .فرض كنيد شما در نقطه ي A در كنار ساحل ايستاده ايد. چشم هاي شما در نقطه ي O كمي بالاي سطح زمين قرار دارند . به نظر مي رسد كه افق در H است كه OH بر سطح كروي زمين مماس است .

مثلث قائم الزاويه ي HOM را (كه در آن M مركز كره ي زمين است) در نظر مي گيريم .پس مي توان OH=a را به كمك قضيه ي فيثاغورث محاسبه كرد . (شعاع كره ي زمين r و اندازه ي قد شما h معلومند.)

=

همان طور كه مي دانيم r  تقريبا" 6367 كيلو متر است پس براي شخصي با قد يك متر و 80 سانتي متر، نتيجه مي شود كه a حدود 4788 متر يعني نزديك 5 كيلو متر است.

ریاضیات دوره راهنمایی(مساله ی کار و کارگر )

مساله ي كار و كارگر

يكي از مشكلاتي كه نوعاً دانش‌آموزان با آن مواجه هستند، حلّ مسأله‌هاي مربوط به تناسب است به طوري كه گاهي تغييري در صورت مسأله ممكن است حلّ آن را براي دانش‌آموز غيرممكن سازد.
در اين جا با طرح مسأله‌هاي كار و كارگر سعي داريم تا اين مشكل را برطرف سازيم.
مسأله‌ي اوّل: M كارگر كاري را در D روز انجام مي‌دهند. اگر پس از گذشت d روز m كارگر (m < M , d < D) قادر به ادامه‌ي كار نباشند. كار چند روزه تمام خواهد شد؟[فرض بر اين است كه تمام كارگر‌ها در هر روز به طور مساوي كار مي‌كنند و خروج تعدادي از كارگران از كار، تأثيري بر ميزان كار بقيه ي كارگران نمي‌گذارد.]
حلّ: اگر ميزان كلّ كار را 1 واحد بگيريم، پس هر كارگر به ميزان  واحد كار در روز بايستي انجام دهد. ميزان كاري كه M كارگر در d روز انجام مي‌دهند برابر است با:.

اگر پس از خروج m كارگر از كار، ادامه‌ي كار  روز طول بكشد آن‌گاه ميزان كاري كه M-m كارگر درروز انجام مي‌دهند برابر است با:.
چون كلّ كار 1 واحد است، لذا خواهيم داشت:

 

و لذا خواهيم داشت: . اگر فرض كنيم پس از خروج m كارگر، كار در روز به اتمام خواهد رسيد آن‌گاه: .

ادامه نوشته

قضیه فشردگی در حد توابع

قضيه ي فشردگي حدود

قضيه اي كه از نظر شما خواهد گذشت ، در حل تعداد قابل توجهي از مساله هاي حد ،كاربرد دارد...

 

 

قضيه ي فشردگي حدود:

اگر  آن گاه :  .(اين قضيه براي حدهاي يك طرفه و بي نهايت هم برقرار است.) 

 مثال:  را بيابيد.

با توجه به شكل زير و استفاده از قضيه ي فشردگي ، نتيجه مي شود كه حد راست برابر 0 است.براي بررسي حد چپ،كافي است نيمه ي ديگر نمودار تابع را در نظر بگيريم كه مشابها" نتيجه مي شود كه حد چپ نيز برابر 0 است و لذا حد مذكور برابر 0 است .   

 

تمرين :حدود زير را بيابيد .(x عددي حقيقي و [y]معرف جز صحيح y است .)

سری عکس اعداد اول

 

يك سري جالب

در اين مقاله در باره ي رفتار سري عكس اعداد اول بحث مي شود ...

 اگر مبحث سري ها را مطالعه كرده باشيم ، مي دانيم اولين موضوعي كه بلافاصله مطرح مي شود مساله ي  همگرائي وواگرائي سري ها است .يكي از مشهورترين سري هاي واگرا سري مي باشد كه به سري همساز معروف است .سوال : اگر به جاي n ها اعداد اول را قرار دهيم ، رفتار سري چگونه است؟

 

اولين بار اويلر در سال 1737 ثابت كرد كه اين سري واگرا مي باشد .

در اين جا اثباتي از اين موضوع كه از آن كلاركسون (Clarkson) است را مي آوريم .

پيش از اثبات ،يكي از آزمون هاي مشهور همگرائي سري ها كه به آزمون انتگرال معروف است را مي آوريم :

آزمون انتگرال : اگر تابع نزولي و باشد آن گاه همگرا است اگر متناهي باشد و واگرا است اگر باشد .

اكنون به اثبات واگرائي سري مي پردازيم :

اگر اين سري همگرا باشد پس عددي طبيعي چون k موجود است كه.

فرض كنيد .  براي عدد طبيعي دلخواه n،عدد 1+nQ را در نظر بگيريد . اين عدد برهيچ يك ازاعداد بخش پذير نيست .[چرا؟] بنابراين همه ي عامل هاي اول 1+nQ در ميان اعداد اول قرار دارند . بنابراين به ازاي هر داريم :

[ چرا؟]

اما طرف راست اين نامساوي تحت تسلط سري هندسي همگراي مي باشد . پس سري داراي مجموع هاي جزئي كراندار بوده ولذا همگرا است .[چرا؟]

اما :

واين يعني طبق آزمون انتگرال ، سري واگرا است واين با موضوع فوق در تناقض است .

 بنابراين سري واگرا مي باشد .

منبع :كتاب نظريه تحليلي اعداد ، نوشته تام .م.آپوستل

 

اعداد کاتالان

اعداد كاتالان

شايد در رياضيات گسسته با مسأله ي زير برخورد كرده باشيد

مسأله: يك صفحه ي شطرنجي n×n در نظر بگيريد؛ مي‌خواهيم با حركت روي خطوط صفحه ي شطرنجي، از نقطه ي A در گوشه ي سمت چپ پائين صفحه، شروع كرده و به نقطه ي B در گوشه ي سمت راست بالاي صفحه برسيم. شرط كار اين است كه فقط مي‌توانيم به سمت‌هاي راست و بالا حركت كنيم و هرگز نبايد به بالاي قطر AB برويم. به چند طريق مي‌توان از A به B رسيد؟

ادامه نوشته

نگار بهت خسته دلان

                    

  شعری از استاد ارجمند جناب آقای حسین ساطانی مقدم

ادامه نوشته

تابع دیریکله

 

 برای دانلود فایل Dirichlet Function  روی لینک زیر کلیک کنید

دانلود فایل

عدد بسيار اول

عدد بسيار اول

آيا مي دانيد عدد بسيار اول به چه عددي مي گويند؟

 عدد 373 همان عدد مورد نظر است . از هر طرف به آن نگاه كني عدد اول است.

اگر يك رقم يك رقم در نظر بگيريم ،هر رقمي يك عدد اول است. و همينطور اگر دو

 رقم د و رقم در نظر بگيريم باز هم اعداد اول داريم. و خود عدد هم كه سه رقمي است نيز عددي اول است. پس به اين عدد ، عدد بسيار اول مي گوئيم .

پيشگام آموزش رياضيات جديد در ايران

دكتر غلامحسين مصاحب

 پيشگام آموزش رياضيات جديد در ايران

غلامحسين مصاحب در سال 1289 شمسي در تهران زاده شد. خانواده او عموما اهل فرهنگ بودند. پدربزرگ او، ميرزا غلامعلي خوشنويس، به چندين هنر آراسته بود. خط خوشي داشت. در زبان فارسي و  عربی ورزيده بود و اصول دستور زبان عربي را در هزار بيت به شعر سرود تا راه دانشجويان زبان عربي را هموار سازد و كار دشوار زبان آموزي را با چاشني ذوق و ادب، خوشگوار سازد.

پدر غلامحسين طبيب بود. مادرش شاعر باذوقي بود. دلخوشي و دلمشغولي عمده اين دو،تربيت فرزندان بود و تلاش بسيار نمودند تا آدمياني فرهيخته بار آورند. هر پنج فرزند آنان به علم و هنر روي آورند. اما غلامحسين در اين ميان، نمونه اي والا شد و هر آنچه را در گوش و هوش او زمزمه كردند، تمام و كمال فرا گرفت. در سراسر عصر در كار پرورش هوش و جان خويش بود و كوشيد تا فرزندان خود را نيز چنين كند: وقت را غنيمت مي شمرد و دمي را بيهوده نگذارنيد؛ در كار علمي و هر كار ديگر، دقت و وسواس فراوان داشت و در هر مسئله اي تا به يقين نمي رسيد از پاي نمي نشست. با ترديد و دودلي اصلا سازگاري نداشت، هنگام كار، كار مي كرد و هنگام فراغت، تفريح؛ هرگز كار جدي را به شوخي نيالود و اين دو را در هم نياميخت. حريم و حرمت سخن را پاس مي داشت و سخني كه بر زبان او مي رفت، حجت بود؛ جز راست نگفت و نزديكان و آشنايان وي به ياد ندارند كه سخن دروغ گفته باشد؛ به علم و نيز خانواده خويش عشق مي ورزيد و در سراسر زندگي بر آن دو دل بسته بود. غلامحسين مصاحب، تحصيل رسمي- مدرسه و دانشگاه- را بسيار دوست مي داشت. در شانزده سالگي يعني زودتر از معمول، دوره دبيرستان را به پايان برد. شاگرد اول تهران شد. در جشني كه بدين مناسبت برگزار شد، در باب "اعتماد به نفس" سخنراني كرد. در اين سخنراني نشان داد كه به نفس و توان خويش اعتماد دارد و بر سر آن است كه از آن بهره گيرد و آن را عاطل و باطل وانگذارد. وزير معارف (آموزش و پرورش و فرهنگ و آموزش عالي) با شنيدن اين سخنراني، مصاحب را شاگرد نمونه ايران خواند و خبر داد مردي در راه است كه مي توان بر او اميد فراوان بست. مصاحب، تحصيل خويش را در ايران و فرانسه و انگلستان ادامه داد و در دانشگاه كمبريج انگلستان دكتراي رياضيات را به پايان برد. در انگلستان شاگرد خاص برتراند راسل، رياضيدان و فيلسوف نامدار انگليسي بود. راسل دو گونه دانشجو و دو گونه كلاس داشت: يكي كلاس عادي كه حدود 500 تن دانشجو داشت، و ديگري كلاس خاص با 5 تن دانشجو، كه از ميان جمع دانشجوياني كه از سراسر گيتي مي آمدند برمي گزيد تا رسالت انتقال علم را به آنان بسپارد. مصاحب يكي از اين 5 تن بود.

ادامه نوشته

کاشف لگاریتم

کاشف لگاریتم

درمیان جمیع دستگاههای لگاریتمی ممکن(با پایه بزرگتر از 1) تنها دو دستگاه متداولند ، که یکی از آنها لگاریتمهای طبیعی هستند که بر مبنای عدد نپرین بنا شده اند. ودر ریاضیات عالی تنها لگاریتمهایی که تقزیبا منحصرا به کار میروند لگاریتمهای طبیعی اند.

پایه لگاریتم طبیعی (~ 2.71828)، اولین بار توسط لئونارد اویلر (Leonhard Euler 1707-83) یکی از باهوشترین ریاضیدانان تاریخ ریاضیات مورد استفاده قرار گرفت. در یکی از دست خطهای اویلر که ظاهرا" بین سالهای 1727 و 1728 تهیه شده است با تیتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اویلر از عدی بنام e صحبت می کند. هر چند او رسما" این نماد را در سال 1736 در رساله ای بنام Euler's Mechanica معرفی میکند.

در واقع باید اعتراف کرد که اویلر کاشف یا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردی بنام جان نپیر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامی که روی لگاریتم بررسی می کرده است بحث مربوط به پایه طبیعی لگاریتم را به میان کشیده است. فراموش نکنید که شواهد نشان میدهد حتی در قرن هشتم میلادی هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشته اند.

در اینکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اویلر نمایش داده شده است صحبت های بسیاری است. برخی e را اختصار exponential می دانند، برخی آنرا ابتدای اسم اویلر (Euler) می دانند و برخی نیز میگویند چون حروف a,b,c و d در ریاضیات تا آن زمان به دفعات استفاده شده بود، اولر از e برای نمایش این عدد استفاده کرد.

تاریخچه نظریه احتمال

    تاریخچه  نظریه احتمال

پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس در بازیهای قمار بوده است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی و حتی در تقسیم کار بین راهبان در مراسم مذهبی وجود داشته است و به علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسایل حقوق٫ بیمه٫ پزشکی و نجوم نیز یافت میشود٫ اما بسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری از خود در رابطه با استفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس باشد بجا نگذاشته اند.

ادامه نوشته

خدا بهترين رياضيدان

خدا بهترين رياضيدان

گاليله مي گويد: اصول رياضيات الفباي زباني است که، خداوند جهان را با آن نوشته است و بدون کمک آنها درک يک کلمه هم غيرممکن است و انسان بيهوده در راهروهاي تاريک و پر پيچ و خم سرگردان است.

رياضي يعني: تدبير در آفرينش و بنا نهادن آن به وسيله اعداد و اعداد يعني: شمارش تعداد اجزاي طبيعت تا بينهايت و بينهايت يعني: از اول تا آخر و از اول تا آخر يعني: رسيدن به خدا، و رسيدن به خدا يعني: عشق و در مجموع، رياضي مقدمه اي براي رسيدن به خالق هستي به نظر من هم، خداوند يک رياضي دان است، رياضيداني که برخلاف ما، هر مسئله اي را به آساني مي تواند حل کند و مانند ما انسانها نياز ندارد از فرمولهاي پيچيده استفاده کند، اصلا پايه گذار رياضي، خداي خالق است ورياضي واسطه اي است تا بتوانيم به قدرت خالق خود پي ببريم، و بدانيم اين جهان بر پايه ارقام و اعداد رياضي بنا شده است.

ادامه نوشته

خوارزمی

ابوجعفر محمد بن موسی خوارزمی دانشمند بزرگ ریاضی و ستاره شناس ایرانی می‌‌باشد.  از زندگی خوارزمی چندان ا طلاع قابل اعتمادی در دست نیست جز اینکه وی در حدود سال ۷۸۰ میلادی در منطقه خوارزم آسیا ی میانه زاده شد شهرت علمی وی مربوط به کارهایی است که در ریاضیات مخصوصاٌ‌ در رشته جبر انجام داده به طوری که هیچیک از ریاضیدانان قرون وسطی مانند وی در فکر ریاضی تأثیر نداشته‌اند. وی را پدر جبر نامیده‌اند.  بیشترین تبحر وی در حل معادله ها خطی و درجه دوم بوده است. کتاب Algoritmi de numero Indorum که ترجمه کتاب جمع و تفریق با عددهای هندی او به لاتین است باعث شد تا سیستم عددی در اروپا از سیستم اعداد لاتین به سیستم اعداد هندی تغییر یابد که هنوز نیز در اروپا و دیگر نقاط جهان فراگیر است.

برای مشاهده  روی ادامه مطلب کلیک کنید.

ادامه نوشته